23. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве.

Пусть - линейное нормированное пространство и в нем задана последовательность линейно независимых элементов .

, где - числовые коэффициенты.

Будем аппроксимировать ф-ию f ф-ей т.о., что (1)

При этом наз-ть эл-ом наилучшего приближения.

Теорема. В ЛНП элемент наилучшего приближения всегда существует.

Д-во. Обозначим . Покажем, что функция непрерывно зависит от своих аргументов.

Для приращения функции

используя для нормы аксиому треугольника, имеем

(2). Отсюда получаем оценку:

, из которой следует непрерывность ф-ии .

На единичной сфере , которая является замкнутым ограниченным множеством, непрерывная функция принимает свое минимальное значение. Обозначим его через .

. (3) Выберем число . Ф-ия непрерывна на шаре , поэтому достигает на нём своей нижней грани

Заметим, что (4) . Вне шара, т.е. при с учётом (3) и (4) имеем оценку: Показали, что на шаре ф-ия достигает своего минимума, а вне шара вып-ся .

ЛНП наз-ся строго нормированным, если из условия следует, что , где число.