<<
>>

В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме

Векторы называются линейно независимыми, если равенство

справедливо тогда и только тогда, когда В противном случае эти векторы называются линейно зависимыми.

Для того чтобы векторы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них можно было представить в виде линейной комбинации остальных.

Упорядоченная тройка ненулевых линейно-независимых векторов образует базис в трехмерном пространстве. Любой вектор пространства единственным образом может быть разложен по базисным векторам, т.е. представлен в виде

где – координаты вектора в базисе (записывают: ).

В пространстве линейная независимость векторов равносильна их некомпланарности, т.е. любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис.

Пусть задана тройка некомпланарных векторов. Совместим начала этих векторов. Если кратчайший поворот вектора до направления вектора , наблюдаемый с конца вектора совершается против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой.

В противном случае – левой. Всюду далее рассматриваются правые тройки базисных векторов.

Совокупность базисных векторов и их общего начала образуют, аффинную систему координат в пространстве. Координаты векторов в таком случае называют аффинными.

Если даны два вектора и в некотором базисе, то

тогда и только тогда, когда

(2)

(3)

В случае, когда базисные векторы попарно перпендикулярны, система координат называется прямоугольной декартовой. Если добавить, кроме того, условие нормированности базисных векторов (т.е. их единичную длину), то такой базис называют ортонормированным и обозначают : Прямоугольные декартовы координаты вектора является его проекциями на вектора соответственно.

Если точка M имеет прямоугольные декартовы координаты x, y, z в системе координат с началом в точке O(0, 0, 0) и базисом , то соответствующий радиус-вектор

Если и , то

.

Линейные операции для векторов и в координатной форме и их скалярное произведение вычисляются по формулам:

; (4)

(5)

(6)

; (7)

. (8)

Направляющими косинусами вектора называются величины , где углы, которые образует вектор соответственно с осями . Их вычисляют по формулам:

(9)

Если единичный вектор, то .

Координаты точки C, делящей отрезок AB в отношении , можно найти по формулам:

<< | >>
Источник: Ответы по теории математики. 2016

Еще по теме В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме:

  1. Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы.
  2. 2.Линейная зависимость …
  3. 11.Понятие вектора. Линейная зависимость и независимость системы векторов и связанные с этими понятиями теоремы. Коллинеарные и компланарные вектора.
  4. Линейная зависимость векторов.
  5. 37. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов в Rn.
  6. 38. Теорема: Если система векторов содержит o, то она линейно зависима.
  7. 39. Теорема: Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то и сама система линейно зависима.
  8. 40. Критерий линейной зависимости.
  9. 57. Линейная зависимость векторов в линейном пространстве.
  10. Ранг матрицы. Линейная зависимость строк или столбцов.
  11. 11. Линейно зависимые и линейно независимые системы строк (столбцов) матрицы, их свойства.
  12. 2. Линейная зависимость векторов
  13. В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме
  14. 7. Линейные и векторные пространства. Основные определения. Теорема о линейной зависимости системы векторов. Теорема о ранге матрицы.
  15. 8. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского
  16. 9. Теоремы о необходимых и достаточных условиях линейной зависимости и линейной независимости решений ЛОДУ
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -