18. Уравнение прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Прямая в пространстве.

Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется уравнение F(x,y) с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F1(x,y)=0 и F2(x,y)=0, сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными: . Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствует в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b, где число k называется угловым коэффициентом, а число b- свободным членом.

Угловой коэффициент k равен тангенсу угла  наклона графика к горизонтальному направлению - положительному направлению оси Ox.

Рис. 7.1. График линейной функции - прямая

Рассмотрим частные случаи уравнения.

1. если b=0, то y=kx - уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при k=tg0 - острый угол  с осью Ox, а при k=tg0 - тупой угол

2. если =0, то k=tg=0, уравнение прямой, параллельной оси Ox, имеет вид y=b

3. если = , то уравнение y=kx+b теряет смысл, т. к. для неё угловой коэффициент k= tg= tg не существует и уравнение имеет вид: x=a, где а - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox.

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку М( , ): y- =k(x- ).

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: , где т.М1( ) и т.М2( ).

Уравнение прямой в отрезках: , где числа a и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0, где А, В, С- произвольные числа, причем А и В одновременно не равны нулю.

Рассмотрим частные случаи общего уравнения прямой:

1. если А=0, то y= - - уравнение прямой, параллельно оси Ox

2. если В=0, то y= - - уравнение прямой, параллельно оси Oy

3. если С=0, то Ax+By=0 -уравнение прямой, проходящей через начало координат.

«школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой:

В курсе геометрии доказывается, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси и данной прямой: , причём угол «откручивается» против часовой стрелки.

Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых. Рассмотрим «красную» прямую и её угловой коэффициент . Согласно вышесказанному: (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). Для «синей» прямой с угловым коэффициентом справедливо равенство (угол «бета» обозначен коричневой дугой).

При этом возможны следующие случаи:

1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже.

2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт снизу вверх. Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже.

3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси . Пример – «жёлтая» прямая.

4) Для семейства прямых , параллельных оси (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), угловой коэффициент не определён. В данной ситуации , а тангенса угла 90 градусов не существует.

Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой.

Например, рассмотрим две прямые .

В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые .

Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой.

Для прямых справедливо неравенство , таким образом, прямая более полога. Детская горка, чтобы не насадить себе синяков и шишек.

Зачем это нужно?

Продлить ваши мучения Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – если на чертеже получилось «явно что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что, например, прямая весьма крутА и идёт снизу вверх, а прямая – очень полога, близко прижата к оси и идёт сверху вниз.

В геометрических задачах часто фигурируют несколько прямых, поэтому их удобно как-нибудь обозначать.

Обозначения: прямые обозначаются маленькими латинскими буквами: .

Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, то её можно обозначать данными точками: и т.д. Обозначение совершенно очевидно подразумевает, что точки принадлежат прямой .

Пора немного размяться:

Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом?

Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой:

Общее уравнение прямой

Ностальгически машем ручкой привычному и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно:

Общее уравнение прямой имеет вид: , где – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом . Сначала перенесём все слагаемые в левую часть:

Слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место:

В принципе, уравнение уже имеет вид , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае ) должен быть положительным. Меняем знаки: