34. Развития математики и небесной механики во второй половине XVIII века. Эйлер. Лагранж. Даламбер. Лаплас.
В конце 17 — начале 18 вв. произошёл величайший перелом в истории математики и естествознания: был создан и быстро распространился анализ бесконечно малых (дифференциальное и интегральное исчисления).
Этот перелом был вызван развитием производительных сил, потребностями техники и естествознания того времени и подготовлен он был всем предшествующим развитием Алгебра В частности, буквенные обозначения и действия над ними ещё в 16—17 вв. способствовали зарождению взгляда на математические величины как на переменные, что так характерно для анализа бесконечно малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой — её функции. Алгебра и анализ развивались в 17—18 вв. в тесной связи. В Алгебра проникали функциональные представления, в этом направлении её обогатил И. Ньютон. С другой стороны, Алгебра принесла анализу свой богатый набор формул и преобразований, игравших большую роль в начальный период интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным событием в Алгебра этого периода было появление курса алгебры Л. Эйлера, работавшего тогда в Петербургской академии наук именно Л.Эйлер больше всего повлиял на развитие русской математики в XVIII веке. Эйлер пробыл в Петербурге около 15 лет. Приехав в Россию мало кому известным молодым человеком, он оставил русскую службу, когда европейские академии, соперничая друг с другом, предлагали ему свои кафедры. Во время пребывания в Петербурге он издал свою «Механику» и написал мемуары, написал руководство по арифметике на немецком, которое было переведено его учеником Адодуровым. Возвратившись в Петербург по приглашению императрицы Екатерины II в 1766 году, Эйлер опубликовал свои «Основания интегрального счисления» и «Алгебру», которая появилась в русском переводе, сделанном его учениками Иноходцевым и Юдиным, раньше, чем оригинал. Надо сказать, что именно Эйлер был учителем выдающегося русского математика С. К. Котельникова (1723 - 1806гг), который стал автором самого первого русского учебника механики(1774г).
Отличие Алгебра от анализа в 18—19 вв. характеризуется тем, что Алгебра имеет своим основным предметом прерывное, конечное. Эту особенность Алгебра подчеркнул в 1-й половине 19 в. Н. И. Лобачевский, назвавший свою книгу «Алгебра, или Вычисление конечных» (1834). Алгебра занимается основными операциями (сложение и умножение), производимыми конечное число раз. Простейшим результатом умножения является одночлен, например 5a3bx2y. Сумма конечного числа таких одночленов (с целыми степенями) называется многочленом. Если обратить внимание на одну из входящих в многочлен букв, например x, то можно придать ему вид: a0xn + a1xn-1 + ... + an, где коэффициенты ao, a1, ....,an уже не зависят от х. Это — многочлен n-й степени (другое наименование — полином, целая рациональная функция). Алгебра 18—19 вв. и есть прежде всего Алгебра многочленов. Объём Алгебра, т. о., оказывается значительно уже, чем объём анализа, но зато простейшие операции и объекты, составляющие предмет Алгебра, изучаются с большей глубиной и подробностью; и именно потому, что они простейшие, их изучение имеет фундаментальное значение для математики в целом. Вместе с тем Алгебра и анализ продолжают иметь много точек соприкосновения, и разграничение между ними не является жёстким. Так, например, анализ перенял от Алгебра её символику, без которой он не мог бы и возникнуть. Во многих случаях изучение многочленов, как более простых функций, пролагало пути для общей теории функций. Наконец, через всю дальнейшую историю математики проходит тенденция сводить изучение более сложных функций к многочленам или рядам многочленов: простейший пример — Тейлора ряд. С другой стороны, Алгебра нередко пользуется идеей непрерывности, а представление о бесконечном числе объектов стало господствующим в Алгебра последнего времени, но уже в новом, специфическом виде (см. ниже — Современное состояние алгебры). Если приравнять многочлен нулю (или вообще какому-либо определённому числу), мы получим алгебраическое уравнение.
Исторически первой задачей Алгебра было решение таких уравнений, т. е. нахождение их корней — тех значений неизвестной величины х, при которых многочлен равен нулю. С древних времён известно решение квадратного уравнения х2 + px + q =0. Алгебраическое решение уравнения 3-й и 4-й степеней было найдено в 16 в. Для уравнения вида x3+ px + q = 0 (к которому можно привести всякое уравнение 3-й степени) оно даётся формулой:………………………………….Эта формула называется формулой Кардано, хотя вопрос о том, была ли она найдена самим Дж. Кардано или же заимствована им у других математиков, нельзя считать вполне решенным. Метод решения алгебраических уравнений 4-й степени указал Л. Феррари. После этого начались настойчивые поиски формул, которые решали бы уравнения и высших степеней подобным образом, т. с. сводили бы решение к извлечениям корней («решение в радикалах»). Эти поиски продолжались около трёх столетий, и лишь в начале 19 в. Н. Абель и Э. Галуа доказали, что уравнения степеней выше 4-й в общем случае в радикалах не решаются: оказалось, что существуют неразрешимые в радикалах уравнения n-й степени для любого n, большего или равного 5. Таково, например, уравнение x5 4x 2 = 0. Это открытие имело большое значение, т. к. оказалось, что корни алгебраических уравнений — предмет гораздо более сложный, чем радикалы. Галуа не ограничился этим, так сказать, отрицательным результатом, а положил начало более глубокой теории уравнений, связав с каждым уравнением группу подстановок его корней. Решение уравнения в радикалах равносильно сведению первоначального уравнения к цепи уравнений вида: ym = а, которое и выражает собой, что…………..
Сведение к таким уравнениям оказалось в общем случае невозможным, но возник вопрос: к цепи каких более простых уравнений можно свести решение уравнения заданного? Например, через корни каких уравнений корни заданного уравнения выражаются рационально, т. е. при помощи четырёх действий — сложения, вычитания, умножения и деления. В таком более широком понимании Галуа теория продолжает развиваться вплоть до нашего времени.
С чисто практической стороны для вычисления корней уравнения по заданным коэффициентам не было особой необходимости в общих формулах решения для уравнений высших степеней, т. к. уже для уравнений 3-й и 4-й степеней такие формулы практически мало полезны. Численное решение уравнений пошло иным путём, путём приближённого вычисления, тем более уместным, что на практике (например, в астрономии и технике) и сами коэффициенты обычно являются результатом измерений, т. е. известны лишь приближённо, с той или иной точностью.
Приближённое вычисление корней алгебраических уравнений является важной задачей вычислительной математики, и к настоящему времени разработано огромное число приёмов её решения, в частности с использованием современной вычислительной техники. Но математика состоит не только из описания способов вычисления. Не менее важна — даже для приложений — другая сторона математики: уметь чисто теоретическим путём, без вычислений, дать ответ на поставленные вопросы. В области теории алгебраических уравнений таким является вопрос о числе корней и их характере. Ответ зависит от того, какие числа мы рассматриваем. Если допустить положительные и отрицательные числа, то уравнение 1-й степени всегда имеет решение и притом только одно. Но уже квадратное уравнение может и не иметь решений среди т. н. действительных чисел; например, уравнение x2+ 2 = 0 не может быть удовлетворено ни при каком положительном или отрицательном х, т. к. слева всегда окажется положительное число, а не нуль. Представление решения в виде ………..
не имеет смысла, пока не будет разъяснено, что такое квадратный корень из отрицательного числа. Именно такого рода задачи и натолкнули математиков на т. н. мнимые числа. Ещё раньше отдельные смелые исследователи ими пользовались, но окончательно они были введены в науку только в 19 в. Эти числа оказались важнейшим орудием не только в Алгебра, но и почти во всех разделах математики и её приложений. По мере того как привыкали к мнимым числам, они теряли всякую таинственность и «мнимость», почему теперь их и называют чаще всего не мнимыми, а комплексными числами.
Если допускать и комплексные числа, то оказывается, что любое уравнение n-й степени имеет корни, причём это верно и для уравнений с любыми комплексными коэффициентами. Эта важная теорема, носящая название основной теоремы Алгебра, была впервые высказана в 17 в. французским математиком Алгебра Жираром, но первое строгое доказательство её было дано в самом конце 18 в. К. Гауссом, с тех пор были опубликованы десятки различных доказательств. Все эти доказательства должны были, в той или иной форме, прибегнуть к непрерывности; т. о., доказательство основной теоремы Алгебра само выходило за пределы Алгебра, демонстрируя лишний раз неразрывность математической науки в целом.Если xi — один из корней алгебраического уравнения a0xn + a1xn-1 + ... + an= 0, то легко доказать, что многочлен, стоящий в левой части уравнения, делится без остатка на х — xi. Из основной теоремы Алгебра легко выводится, что всякий многочлен n-й степени распадается на n таких множителей 1-й степени, т. е. тождественно: a0xn + a1xn-1 + ... +an = a0(x-x1)(x-x2) ... (x-xn), причём многочлен допускает лишь одно единственное разложение на множители такого вида.
Таким образом, уравнение n-й степени имеет n «корней». В частных случаях может оказаться, что некоторые из множителей равны, т. е. некоторые корни повторяются несколько раз (кратные корни); следовательно, число различных корней может быть и меньше n. Часто не так важно вычислить корни, как разобраться в том, каков характер этих корней. Как пример приведём найденное еще Декартом «правило знаков»: уравнение имеет не больше положительных корней, чем число перемен знака в ряду его коэффициентов (а если меньше, то на чётное число). Например, в рассмотренном выше уравнении x5 4x 2 = 0 одна перемена знака (первый коэффициент — положительный, остальные — отрицательные). Значит, не решая уравнения, можно утверждать, что оно имеет один и только один положительный корень. Общий вопрос о числе действительных корней в заданных пределах решается Штурма правилом.
Очень важно, что y уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни могут являться только парами: наряду с корнем а + bi корнем того же уравнения всегда будет и a bi. Приложения ставят иногда и более сложные задачи этого рода; так, в механике доказывается, что движение устойчиво, если некоторое алгебраическое уравнение имеет только такие корни (хотя бы и комплексные), у которых действительная часть отрицательна, и это заставило искать условия, при которых корни уравнения обладают этим свойством (см. Рауса — Гурвица проблема). Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т. е. системы т уравнений 1-й степени с n неизвестными: a11x1+...+a1nxn = b1, a21x1+...+a2nxn = b2, ............................... am1x1+...+amnxn = bm.Здесь x1..., xn — неизвестные, а коэффициенты записаны так, что значки при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем уравнений 1-й степени определяется не только тем, что они — простейшие. На практике (например, для отыскания поправок в астрономических вычислениях, при оценке погрешности в приближённых вычислениях н т. д.) часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь (ввиду их чрезвычайной малости), так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г. Лейбниц (1700) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов aik и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить т. н. определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие таблицы, или матрицы, стали предметом самостоятельного изучения, т. к. обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Теория систем линейных уравнений и теория матриц в настоящее время стали частями важной отрасли науки — линейной алгебры. ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (родился 15 апреля 1707 г. в Базеле) получил первоначальное математическое образование у своего отца Павла Эйлера, священника в дер. Риген около Базеля, учившегося математике у Якова I Бернулли. Леонард предназначался тоже для духовного звания; но когда он обратил на себя внимание Иоганна Бернулли и стал брать у него частные уроки, эта мысль была оставлена. После того как молодые Бернулли получили приглашение в Петербург, «они употребили столько же усилий для того, чтобы приблизить к себе своего страшного соперника (Эйлера), сколько их употребляют обыкновенные люди для удаления такового». Не находя места в Базеле, Эйлер действительно в 1727 г. переехал в Петербург. Здесь он в 1730 г. занял место профессора физики при академии, а в 1733 г. место своего друга, Даниила Бернулли — кафедру высшей математики. Усиленные занятия довели его в 1735 г. до сильной горячки, которая кончилась потерею правого глаза. В 1741 г. он переехал в Берлин директором математического класса академии, но в 1760 г. вернулся в Петербург. В этом же году он почти потерял зрение и на левый глаз, так что мог различать лишь крупные меловые знаки на черной доске. Это, однако, не прервало его научных трудов: умственные силы он сохранил до конца жизни. 7 сентября 1783 г. за обедом он беседовал еще с Лекселлем о новой планете (Уране), а во время игры с внуками за чаем у него вдруг выпала из рук трубка, «и он перестал вычислять и жить». Эйлер был женат два раза и имел от первого брака тринадцать детей, из которых восемь умерли в ранних голах. Трое его сыновей заняли видное положение в обществе, особенно старший, следовавший не без славы по стопам своего отца. Посмертными трактатами Леонарда Эйлера еще многие годы заполнялись мемуары Петербургской академии.