Три фундаментальные теоремы функционального анализа

ТЕОРЕМА 16 (Хана-Банаха). Пусть Х – линейное нормированное пространство, L – линейное многообразие в Х, f – линейный непрерывный функционал на L. Тогда f можно продолжить до линейного непрерывного функционала F на Х такого, что ||F|| = ||f ||.

Не всякое непрерывное отображение можно продолжить на более обширное множество. Так, функцию sin(1/x), непрерывную на множестве положительных чисел, нельзя продолжить на множество неотрицательных чисел. В то же время, равномерно непрерывную функцию продолжить можно. Линейный функционал является равномерно непрерывным и в этой части утверждение теоремы достаточно понятно. Сильнейшим является утверждение о возможности продолжения с сохранением нормы.

ТЕОРЕМА 17. (Банаха об обратном операторе). Если А – линейный непрерывный оператор, биективно отображающий банахово пространство Х на все банахово пространство Y, то оператор А имеет непрерывный обратный.

Ранее отмечалось, что отображение, обратное к непрерывному и взаимно однозначному, не обязано быть непрерывным. Утверждается, что это так для отображений компактных пространств. Теорема Банаха утверждает справедливость этого для линейных отображений банаховых пространств.

ТЕОРЕМА 18. (Банаха-Штейнхауза) Если последовательность {A_n} линейных операторов ограничена в каждой точке банахова пространства Х, т.е. ||A_nх|| £ N(х), то нормы операторов ограничены, т.е. существует число M такое, что ||A_n|| £ M.