<<
>>

Примеры метрических пространств.

1. Множество вещественных чисел R.

r(х,у) =÷х-у÷. 1 и 2 свойства расстояния очевидны, неравенство треугольника следует из известного неравенства÷а+b÷ £÷a÷+÷b÷ при заменах a: = х-z, b: = z-y.

Сходимость, естественно, совпадает с известным понятием сходимости числовой последовательности.

2. Конечномерные метрические пространства .

Рассмотрим множество векторов вида х = (х12,…, хn) c вещественными компонентами. р?1. Определим величину rp(х,у) = . 1 и 2 свойства метрики очевидны, неравенство треугольника следует из неравенства Минковского (п. 2). Множество n – мерных векторов с расстоянием rp(х,у) является метрическим пространством, которое обозначается . Cходимость в пространствах равносильна покоординатной сходимости.

На множестве n-мерных векторов можно определить еще одно расстояние: r¥(х,у) = . Свойства метрики легко проверяются, впрочем, сходные рассуждения будут приведены в дальнейшем. Здесь сходимость также равносильна покоординатной.

Пространство называется эвклидовым.

Рассмотрим замкнутые шары пространств при различных значениях р с центром в точке 0 = (0,0) и радиусом 1. Это есть множества вида {(x1,x2):u x1up+ux2up £ 1}.

Все круги содержат точки (±1,0), (0,±1). При р =2 это есть обычный евклидов круг, при р < 2 шар является подмножеством круга, при р = 1 шар является квадратом, диагонали которого расположены на координатных осях. При р > 2 шар объемлет обычный круг, при р = ¥ получим квадрат, стороны которого параллельны осям координат.

3. Пространство непрерывных функций С.

Рассмотрим множество непрерывных функций, определенных на отрезке [0,1]. Тем самым, здесь точкой является функция. Определим расстояние следующим образом: r(х,у) =. Поскольку функция непрерывна на отрезке [0,1], то по теореме Вейерштрасса (см. мат. анал!) она достигает максимального значения, так что определение корректно.

Опишем сходимость в этом пространстве. Если хn®x0 в пространстве С[0,1], то , т.е. "e>0 $N "n>N "tÎ[0,1] . В математическом анализе такая сходимость функций назывался равномерной в отличие от поточечной, которая состоит в том, что хn(t)®x0(t) при любом tÎ[0,1], т.е. в формальном виде "tÎ[0,1] "e>0 $N "n> N .

4. Пространство ограниченных последовательностей т.

Рассмотрим множество последовательностей х=(х12,…,хn,…), каждая из которых ограничена, т.е uхnu £М(х) (этим подчеркнуто, что для каждой последовательности границы свои). Например, последовательность (1000, -1, 1000, -1, 1000, -1, 1000,…) входит в т, а последовательность (1, -1, 2, -1, 3, -1, 4,…) нет. Определим расстояние: r(х,у)= Из ограниченности последовательностей х,у следует, что ограничена и последовательность , т.е.

по теореме о точной верхней грани введенное расстояние всегда определено. При этом максимальное значение может не достигаться. Например, пусть у=(0,0,…,0,…); х=(0, 1/2, 3/4,…,(n-1)/n,…). => не существует, r(х,у)=1.

Пусть х(k)®х(0) в пространстве т. Поскольку при любом i =r(х(k)(0))®0, то в силу неотрицательности по теореме о милиционерах ®0, т.е. из сходимости в пространстве т следует покомпонентная сходимость. Обратное неверно: из покомпонентной сходимости не следует сходимость в пространстве т. В качестве примера рассмотрим последовательности х(k), где все компоненты кроме k-ой нулевые, а . Очевидно, что ®0 при любом i (в соответствующей последовательности все элементы кроме одного нули). В то же время, неверно, что х(k)®0=(0,0,…,0,…), поскольку r(х(k),0) = 1 при всех k. Здесь ситуация аналогична предыдущему примеру: для сходимости в пространстве т нужна не просто покомпонентная сходимость, а равномерная покомпонентная сходимость.

5. Пространство сходящихся последовательностей с.

Элементами этого пространства являются сходящиеся последовательности х = (х12,…,хn,…) с расстоянием r(х,у) = . Поскольку сходящиеся последовательности ограничены, пространство с является подпространством пространства т.

6. Пространства непрерывных функций Lpс.

Рассмотрим (аналогично примеру 3) множество непрерывных функций, определенных на отрезке [0,1]. Расстояние между функциями определим формулой rp(х,у)=, где р?1. Свойства расстояния следуют из свойств интеграла и неравенства Минковского. Сходимость может быть весьма экзотичной. Приведем пример последовательности непрерывных функций, которая в Lpс сходится к 0 и при этом не сходится ни в одной точке интервала (0,1). Разобьем отрезок [0,1] на 3 равные части и обозначим через f1(x) функцию, равную 0 в точках 0 и 1, равную 1 на отрезке [1/3, 2/3] и линейную на отрезках [0,1/3] и [2/3,1]. Затем разобьем отрезок на 4 равные части и обозначим через f2(x) функцию, равную 0 на отрезке [3/4,1] и в точке 0, равную 1 на отрезке [1/4,1/2], линейную на отрезках [0,1/4] и [1/2,3/4] и через f3(x) функцию, равную 0 на отрезке [0,1/4] и в точке 1, равную 1 на отрезке [1/2,3/4], линейную на отрезках [1/4,1/2] и [3/4,1]. Рекомендуется сделать рисунок. Продолжим подобное построение. При разбиении отрезка на п частей получим п – 2 новые функции, каждая из которых равна 1 на одном из внутренних промежутков, равна 0 на промежутках, с ним несмежных и линейная на смежных. Построенная последовательность обладает нужными странными свойствами (при любом p), в чем следует убедиться самостоятельно.

7. Пространства последовательностей lp.

Элементами этого пространства являются последовательности х=(х12,…,хn,…) такие, что ряд сходится. Например, как следует из курса математического анализа, , но в то же время . Расстояние в lp определяется по формуле

rр(x,y)=.

Из неравенства Минковского следуют сходимость ряда, который участвует в определении расстояния, и неравенство треугольника. Поскольку = rр(x,y), то из сходимости в lp следует, что каждая компонента последовательностей сходится, т.е. из х(n)®х(0) следует, что при любом i. Обратное неверно - подходит пример, приведенный для пространства т.

7. Дискретные метрические пространства.

Рассмотрим произвольное множество и определим на нем расстояние таким образом, что r(x,y)=1, если x?y. В этом пространстве шар В(х, e) = В(х,1) (1 > e > 0) содержит только центр шара. Отсюда следует, что последовательность хn сходится тогда и только тогда, когда начиная с некоторого номера ее члены совпадают.

1.

<< | >>
Источник: Шпаргалка по курсу Функциональный анализ. 2017

Еще по теме Примеры метрических пространств.:

  1. Вопрос № 57 Проблема измерения в психологии.
  2. 11.Восприятие. Общая характеристика.
  3. 13.Конституційні типології темпераменту й характер особистості.
  4. Вопрос 2. Форма представления результатов исследования
  5. 47. Эстетика авангарда и основные составляющие его направления: кубизм,
  6. 14. Методика изучения площади геометрических фигур и формиро­вание навыков её измерения. Ознакомление с единицами измерения площа­ди и их соотношением. Особенности восприятия младшего школьника. Учет закономерностей и принципов воспитания при изучении площади геометри­ческих фигур.
  7. 14. Методика изучения площади геометрических фигур и формиро­вание навыков её измерения. Ознакомление с единицами измерения площа­ди и их соотношением. Особенности восприятия младшего школьника. Учет закономерностей и принципов воспитания при изучении площади геометри­ческих фигур.
  8. 38. Неэвклидова геометрия. Лобачевский. Больяи. Риман.
  9. Врпросы
  10. Вопросы
  11. 18. Уравнение прямой на плоскости.
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -