1. Метрические пространства.

Метрическим пространством называется множество Х, любым двум элементам (точкам) х,у которого сопоставлено число r(х,у), удовлетворяющее следующим условиям:

1) Неотрицательность: r(х,у) ? 0, причем условие r(х,у) = 0 равносильно тому, что х = у.

2) Симметричность: r(х,у) = r(у,х).

3) Неравенство треугольника: r(х,у) £ r(х,z)+r(z,у). Это неравенство обобщает известное правило: сумма длин двух сторон треугольника не меньше третьей.

Функция r называется метрикой или расстоянием.

Из неравенства треугольника вытекает полезное обратное неравенство треугольника: u r(х,z)-r(z,у)u £ r(х,у), которое для плоских треугольников известно из школьного курса геометрии.

Любое множество Y Ì X можно считать наделенным метрикой r. Оно называется подпространством X.

Точка х₀ называется пределом последовательности {х_n}, если числовая последовательность r(х_n,х₀) является бесконечно малой (стремится к 0). Или точка х₀ называется пределом последовательности {х_n}, если "e > 0 $N "n > N выполняется неравенство r(х_n,х₀) < e.

Обозначения: х_n®х₀, lim х_n = х₀.Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.

Мы будем пользоваться понятием подпоследовательности. Если {х_n} – последовательность в метрическом пространстве и n₁1. Тогда

.