<<
>>

(Дополнения) Метрическое пространство

(О1) Метрическим пр-вом назыв пара (X,ро), сост из нек мн-ва Xэл-тов и однозначной неотриц действ ф-цией ро(x,y), опред для любых х,y из X, называемой расстоянием или метрикой, удовлетвор 3-м аксиомам: 1) ро(x,y)=0 ттт, x=y 2) ро(x,y)=ро(y,x) акиома симметрии 3) ро(x,y) = 0сущ номер Nтакой,что ро(xn,xm) Nи для всех m>N.

Если в метрическом пр-ве Xлюбая ф-ц посл-ть сх, то это метрическое пр-во назыв полным. Например, пр-ва R, Rnдля всех n, C[a,b] явл полным.

Линейные пространства

(О2) Например мн-во L эл-тов x,y,… назыв линейным или векторным пр-вом,если оно удовлетвор акиомам: I) Для любых 2-х эл-тов x,yпринадл Lоднознач опред эл-т z из L, называемый их суммой и обозначаемый ч-з x+y, причём : 1) x+y = y + x 2) (x+y)+z = x + (y + z) 3) В Lсущ эл-т 0 такой, что x + 0 = xдля всех х 4) для всех х из Lсущ (-х) такой , что x+ (-x) = 0. ll) Для любого числа α и любого х из Lопределён эл-т αxиз L, причём : 1) α(βх) = (αβ)х 2) 1*х = хlll) Указанные операции связаны дистрибутивными законами: 1) (α+β)x = αx + βx. В зависимости от того, какие числа α исп , различают действ и комп лин пр-ва. Легко проверить, что пр-ва Rnи C[a,b]явл лин пр-вами.

(О3) В-рное пр-во Rназыв нормированным пр-вом, если для всех х из L определено действ число ||x|| назыв нормой, к удовлетвор аксиомам 1) ||x||>0 , для всех х из L, ||x||=0 ттт х=0 2) ||x+y|| =< ||x|| + ||y|| 3) ||αx|| = |α| * ||x||. Всякое нормированное пр-во становится метрическим, если для всех x, yиз Lположить ро(x,y) = ||x – y||

Скалярное произведение

(О4) Скалярным произведением в действ лин пр-ве назыв действ ф-ция, обозн (x,y) опред для любой пары (x,y) из Lи удовлетвор аксиомам : 1)(x,y) = (y,x) 2) (x1,y1 + y2) = (x1 + y1) + (x1 + y2) 3) (αx,y)= α(x,y) 4) (x,x)>= 0; (x,x)=0 ттт x=0. Лин пр-во с заданным в нём скаляр произведением назыв Евклидовым пр-вом. Норма в Евклидовым пр-ве опред по формуле ||x|| =

<< | >>
Источник: Шпаргалка по курсу теория функций действительной переменной. 2017

Еще по теме (Дополнения) Метрическое пространство:

  1. Вопрос № 57 Проблема измерения в психологии.
  2. 38. Неэвклидова геометрия. Лобачевский. Больяи. Риман.
  3. (Дополнения) Метрическое пространство
  4. СТРУКТУРА ВРЕМЕННЫХ ПОЛОЖЕНИЙ 1867-1868 гг
- Аналитическая геометрия - Высшая математика - Вычислительная математика - Вычислительные методы линейной алгебры - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комбинаторика - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейная алгебра и аналитическая геометрия - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая статистика - Математическая физика - Математический анализ - Метод конечных элементов - Методы оптимизации - Обработка результатов измерений - Общая алгебра - Операционное исчисление - Основы математики - Планирование эксперимента - Пределы - Ряды - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория конечных автоматов - Теория массового обслуживания - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Философия математики - Функциональный анализ - Элементарная математика -